Burgers non visqueux

On considère finalement le cas de l'équation de Burgers non visqueux, avec des conditions périodiques, pour un temps

tel qu'aucun choc n'apparaisse sur l'intervalle

Théorème 3.6 On considère une itération du BFN correspondant au problème (3.39), avec des observations $u_{obs}$ qui vérifient (3.39-F) avec . On note

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} w(t) &=& u(t) - u_{obs}(t), \widetilde{w}(t) &=& \widetilde{u}(t)-u_{obs}(t). \end{array}\end{displaymath}$

(3.40)

On suppose que $u_{obs}\in W^{1,\infty}([0,T]\times\Omega)$ , i.e. qu'il existe telle que

$\displaystyle \vert\partial_x u_{obs}(t,x)\vert\le M, \quad \forall t\in [0,T], \forall x\in \Omega.$

(3.41)

Alors, nous avons les résultats suivants:

Si , alors pour tout $t\in[0,T]$ ,

$\displaystyle \Vert\widetilde{w}(t)\Vert \leq e^{(-K-K^\prime+M)(T-t)} \Vert w(t)\Vert.$ (3.42)
Si $K(t,x)=K \mathbbm{1}_{[t_{1},t_{2}]}(t)$ avec $0\leq t_{1} < t_{2}\leq T$ , alors

$\displaystyle \Vert\widetilde{w}(0)\Vert \leq e^{(-K-K^\prime)(t_{2}-t_{1})+MT} \Vert w(0)\Vert.$ (3.43)

Proposition 3.2 On considère une résolution du problème direct (resp. rétrograde) avec nudging pour l'équation de Burgers non visqueux (3.39-F) (resp. (3.39-B)). Avec les notations du théorème 3.6, si , alors

$\displaystyle w(T,\psi(T,x)) = w(0,x) \exp \left( -\displaystyle\int_0^T K(\psi... ...\displaystyle\int_0^T \partial_x u_{obs}(\sigma,\psi(\sigma,x))d\sigma \right).$

(3.44)