Figure 6.8: Normes RMS des erreurs obtenues pour les différentes méthodes en fonction du nombre de pas de temps le long de la période d'assimilation. Utilisation de la première observation bruitée (pointillés rapprochés), algorithme primal (ligne continue) et algorithme dual (ligne pointillée).

La figure 6.8 représente l'erreur mesurée en norme RMS (root mean square), c'est-à-dire au sens des moindres carrés, tout au long de la période d'assimilation, entre la trajectoire de référence (considéree comme solution exacte) et la solution identifiée à l'aide d'une des méthodes précédemment vues (en utilisant directement la première observation bruitée, avec l'algorithme primal ou avec l'algorithme dual). L'erreur RMS à l'instant pour chacune de ces solutions est mesurée de la façon suivante :

(6.1)

L'erreur atteint environ dans le cas de la trajectoire provenant directement des observations, et augmente avec le temps. Ceci est en accord avec les non linéarités inhérentes du modèle qui ont tendance à propager les erreurs en les augmentant au fil du temps.

Dans le cas de l'utilisation de l'une ou l'autre des deux méthodes d'assimilation de données, l'erreur est clairement plus petite, au moins fois plus faible. Ceci prouve une fois encore l'intérêt des méthodes d'assimilation de données, qui permettent de reconstruire avec moins de d'erreur une trajectoire en utilisant uniquement des observations partielles bruitées à hauteur de .

L'erreur de la solution primale a tendance à augmenter avec le temps. Ceci est cohérent avec la remarque formulée précédemment au sujet de la ressemblance entre la trajectoire reconstruite et la trajectoire de référence surtout au début de la période d'assimilation et moins à la fin.

L'erreur d'assimilation commise avec la méthode duale est un peu plus grande au début de la période d'assimilation, mais elle reste globalement constante (en fait elle diminue très légérement vers le pas de temps avant de réaugmenter tout aussi faiblement vers les derniers pas de temps) avec le nombre de pas de temps. Ceci est également cohérent avec la remarque formulée à la fin du paragraphe concernant la méthode duale, qui a mieux reconstitué la trajectoire à l'instant final que la méthode primale.

Il faut également noter que, bien que les données ne concernent que la couche en surface, la couche intermédiaire et la couche du fond du bassin sont aussi bien reconstituées dans un cas comme dans l'autre. Ceci tend à confirmer le fait que les méthodes d'assimilation de données se servent du modèle pour propager l'information, et par le couplage que le modèle effectue entre les différentes couches, l'information est effectivement propagée de la surface aux autres couches.

Enfin, la dimension du vecteur de contrôle dual (28577) étant plus faible que celle du vecteur de contrôle primal (121203), même si la minimisation est arrêtée pour le même nombre maximal d'itérations/simulations, la minimisation de la fonctionnelle duale est un peu plus poussée, la norme du gradient ayant plus diminué que pour la fonctionnelle primale. En ne s'autorisant qu'environ une trentaine d'itérations lors de la minimisation de la fonctionnelle duale, on obtient une décroissance proche de celle obtenue pour la fonctionnelle primale avec itérations autorisées. Il est donc possible avec la méthode duale de gagner un peu de temps de calcul en conservant des résultats comparables, ou alors garder le même temps de calcul et obtenir des résultats un peu meilleurs qu'avec l'algorithme primal.