Là encore, comme pour le 3D-VAR, une version incrémentale permet
de réduire la dimension du vecteur de contrôle, en ne travaillant
plus sur la condition initiale 
mais sur l'incrément
= 
([11]). En effet, le 4D-VAR tel que nous venons de le voir a
de nombreux inconvénients : la dimension est très élevée (de
l'ordre de 
au moins), l'écriture du code adjoint (et
éventuellement de l'adjoint au second ordre, si nécessaire) est
fastidieuse, mais nécessaire dans tous les algorithmes quadri-dimensionnels
que nous étudions ici, y compris dans le 4D-PSAS.
Les matrices de covariance d'erreur ne sont à aucun
moment fournies par l'algorithme, mais ce n'est pas le but de cet algorithme
variationnel. Enfin, la fonction coût est non
linéaire et le coût de chaque itération (résolution des équations
directes et adjointes) rend la minimisation difficile.
La fonctionnelle incrémentale est la suivante :
, différence entre l'observation 
et la solution à l'instant 
de l'équation directe
(2.17) avec pour condition initiale 
, est le vecteur
d'innovation correspondant à la
observation, et
est la solution à l'instant
du système
linéaire tangent avec
comme condition initiale. Il faut
également supposer que 
est linéaire (si ce n'est pas le cas,
il faut le remplacer par une approximation linéaire). Une fois la
fonction coût incrémentale minimisée, il suffit d'ajouter la
solution trouvée à l'ébauche pour reconstituer l'état initial
.
En choisissant quelques modes de grande variabilité (quelques dizaines), il est possible de ramener le problème initial (comme traité par le 4D-VAR) de très grande taille à un problème de taille très raisonable, résoluble par l'algorithme 4D-VAR incrémental. De plus, comme dans les autres algorithmes variationnels, il est toujours possible d'arrêter la minimisation effective de la fonctionnelle bien avant convergence, lorsque le temps de calcul atteint une éventuelle limite fixée. Ce sont les principaux avantages de cette méthode, et c'est pour cela que de nombreux organismes de météorologie l'ont adopté dans leur système de prévision ([37], [45], [35]).
![$\displaystyle J(\delta x_0) = \frac{1}{2} \delta x_0^TB^{-1}\delta x_0 + \frac{...
...d_i-H_i(\delta x(t_i)) \right]^T R_i^{-1} \left[ d_i-H_i(\delta x(t_i)) \right]$](img144.png)