Modèle adjoint

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Modèle adjoint

Afin de minimiser la fonction coût $\mathcal{J}$ , il est nécessaire de connaître son gradient $\nabla\mathcal{J}$ . Comme la dimension du vecteur de contrôle est trop élevée pour calculer la dérivée par une méthode de différences finies, nous allons utiliser la méthode de l'adjoint. Il faut alors résoudre le modèle adjoint de façon rétrograde. Les équations adjointes du modèle quasi-géostrophiques sont :

pour la couche de surface ( ) :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial \theta_1^T(\L... ...1,\theta_1(\Psi)+f) -\beta \Delta^2 \Lambda_1 = E_1 \end{array}\end{displaymath}$ (5.12)
pour les couches intermédiaires ( $2 \le k \le n-1$ ) :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial \theta_k^T(\L... ...a_k,\theta_k(\Psi)+f) -\beta \Delta^2 \Lambda_k = 0 \end{array}\end{displaymath}$ (5.13)
pour la couche du fond ( ) :

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial \theta_n^T(\L... ...\Lambda_n-\beta\Delta^2\Lambda_n = 0 \end{array} \vspace{0.3cm}\end{displaymath}$ (5.14)

Les notations utilisées sont les suivantes :

$\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ sont les fonctions de courant adjointes dans chacune des couches.
$\Lambda$ représente le vecteur $\displaystyle \left( \begin{array}{c} \Lambda_1 \vdots \Lambda_n \end{array} \right)$ .
$\theta_k^T(\Lambda) = -\Delta \Lambda_k + (W^T \Lambda)_k$ est la vorticité correspondant à l'état adjoint.
Enfin, est la dérivée de $\mathcal{J}$ par rapport à $\Psi_1$ :

$\displaystyle E_1(t)=\sum_{i=0}^N H_i^TR_i^{-1}\left( H_i\Psi_1(t)-\Psi_1^{obs}(t) \right) \delta(t-t_i).$ (5.15)

Si on note $\chi=\displaystyle \left( \begin{array}{c} \chi_1 \\ \vdots \chi_n \end{array} \right)$ le vecteur modal adjoint :

$\displaystyle \chi=P^T\Lambda,$

(5.16)

les conditions aux bords que doit satisfaire l'état adjoint $\Lambda$ sont :

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} \chi_1 = 0 \qquad \textrm{sur } \partial \Om... ...ma = 0 \qquad \forall t \in [0,T], \forall k \ge 2, \end{array}\end{displaymath}$

(5.17)

$\displaystyle \Delta \Lambda_k(t)=0 \qquad \textrm{sur } \partial \Omega\times [0,T], \forall k.$

(5.18)

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