Dans cette section, nous appliquons la méthode du gradient topologique au problème de l'``inpainting'' d'une image. L'inpainting consiste à reconstituer les parties cachées d'une image, par exemple par un masque, ou à cause d'une détérioration, afin de récupérer l'image entière et originale. Les applications sont nombreuses, par exemple pour enlever les tâches sur une image ou sur un film mal conservé, pour supprimer un logo ou une image incrustée sur une autre image, ...
Ce problème est classiquement résolu par l'une des approches suivantes: méthodes d'apprentissage (e.g. réseaux de neurones) [117,118], minimisation d'une fonctionnelle d'énergie reposant sur la variation totale [48,49], analyse morphologique pour séparer la texture du décor [60], ...
Pour étudier ce problème, nous allons dans un premier temps essayer d'identifier et reconstituer les contours (ou arêtes) principaux de l'image dans la zone cachée (et donc inconnue). La technique de détection des fissures est basée sur la diffusion thermique classique [90,47,114,115,96], que nous avons améliorée en modélisant les contours de l'image comme des fissures. À l'aide de la connaissance à la fois de la condition de Dirichlet et de celle de Neumann au bord de la zone cachée, nous pouvons définir un critère, mesurant l'écart entre la solution d'un problème de Dirichlet et celle d'un problème de Neumann [76]. Ce problème est analogue au problème de conductivité inverse, aussi connu sous le nom de problème de Calderón [46]. Seulement deux mesures sont nécessaires pour retrouver des fissures simples [4,5,32]. Plusieurs approches numériques ont été proposées dans [11,33,34,45,64,98,97], mais la plus performante semble être l'approche par analyse asymptotique topologique. La minimisation du critère nous permettra alors d'identifier les principales fissures de l'image dans la partie inconnue. Enfin, l'image sera reconstituée entre les fissures grâce au Laplacien.
Cette section résume les travaux présentés dans [27,28]. De nombreux tests numériques sont également présentés dans ces références.