1.
(15sept) Introduction.
Document
projeté, Probabilité dans les
sujets
de Bac S et
ES
en 2014, Cf
site
de l'AMEP
Trois problèmes de calculs par conditionnement : le
problème
des trois portes, le
paradoxe
des deux enfants, le
problème
des deux enveloppes. (Le cours reviendra sur ces
deux exemples)
2. (21sept)
Statistique descriptive : Population, caractéristique des
individus, Fréquence d'une caractéristique, fréquences
conditionnelles, relations entre les fréquences,
interprétation probabiliste d'une fréquence (on tire un
individu au hasard), modèle combinatoire (S ensemble fini
avec proba uniforme),interpétation des probabilités
conditionnelles, ! liaison n'est pas explication, le
paradoxe
de Simpson.
3. (29sept) Calculs autour du paradoxe de Simpson
(ex 10 de la
feuille
1 de 2015-16) ; éventualités ou atomes issues d'un
ensemble d'évènements, shéma de Bernouilli, arbre
représentant les issues possibles d'une expérience
aléatoire en plusieurs étapes, probabilité d'une
conjonction de n évts (E
1,...,E
n)
comme produit des probabilités conditionnelles P(E
i|E
1,...,E
i-1)
en étiquette sur l'arbre dans l'ordre E
1,...,E
n,
ex6 de la
feuille
1 de 2015-16 : arbre associé)
4. (6oct) Indépendance entre deux évts E,F en
terme de proba conjointe ou de proba conditionnelle,
indépendance entre E et n évts F
1,...,F
n,
exemple. Liaison entre deux évts, slogans "La connaissance
de F rend E 1.2 fois plus probable", "...augmente les
chances de E de 20%" ; ! liaison ≠ relation de cause à
effet, ex:
f2ex12.
Modèle Ω
1×Ω
2 pour la réalisation de
deux expériences aléatoires indépendantes de modèles
respectifs (Ω
1,P
1) et (Ω
2,P
2),
probabilité produit, cas où Ω
1 et Ω
2
sont des modèles combinatoires, généraliation à n
expériences. Exemples : lancé répété d'un dé non biaisé,
lancé répété d'un dé biaisé, choix d'un dé parmi un lot
contenant des dés biaisés et lancé répété de ce dé.
5. (12oct) Modèle pour la répétition n fois d'une
expérience, ex. Proba que le lancé de 6 dés donne 6
résultats différents, proba que dans une classe de n
élèves les anniversaires ne coïncident pas,
calculs
avec SageMath. Lancé répété d'une pièce équilibrée
jusqu'à ce que Face apparaisse : évènements représentables
dans un modèle combinatoire, axiome pour un modèle discret
infini (somme infinie). Lancé répété d'une pièce une
infiinité de fois (modèle non discret, évènement éligibles
et leurs probabilité), axiomes d'une mesure de
probabilité.
6. (13oct 13h) Caractère qualitatif ou
quantitatif en statistique descriptive, synthèse du
caractère, représentation graphique. Variable aléatoire le
plus souvent numérique en probabilité, réprésentation par
une application Ω→R relativement à un modèle (Ω,P) de
l'expérience, loi d'une variable aléatoire discrète,
exemple : nombre de lancés d'une pièce équilibrée jusqu'à
obtenir Face, somme de deux dés.
Lecture :
Un
cours de statistiques descriptives en L2SF (voir la
page de R. Diel plus bas)
7. (20oct 13h) Interro 1
8. (9nov 13h) Distribution (dans le cas discret),
fonction de répartition (dans le cas d'une variable à
valeurs dans R) de la loi d'une variable aléatoire, lien
entre les deux, proriétés, représentation graphique,
histogramme. Lois discrètes classiques et expériences
aléatoires associées : uniforme, Bernouilli, binomiale,
géométrique.
Lecture : Distribution de la loi binomiale suivant la
valeur des paramètres n et p,
calcul
sur cloud.sagemath.com
9 (17nov) Un corrigé élémentaire de l'ex. 3 de
l'interrogation du 20 oct. : arbre des succès.
Espérance, variance d'une variable aléatoire discrète
(Valeur centrale, mesure de dispertion), expression avec
la loi, expression avec un modèle (Ω,P), linéarité de
l'espérance, calcul par conditionnement, cas de la loi
géométrique (calcul via la dérivée d'une série entière),
énoncé de la loi des grands nombres, évocation du théorème
centrale limite.
10 (24nov) Indépendance de n variables aléatoires
(par construction de l'expérience ou après calcul), déf.
avec la fonction de répartition de la loi jointe ou dans
le cas discret avec la distribution de la loi jointe, lien
avec l'indépendance de n évènements (v.a. 1
Ei),
E(XY), Cov(X,Y), Var(X+Y) pour X,Y indépendantes,
généralisation à X
1,...,X
n,
comparaison des variances dans le cas X
1=...=X
n
avec X
1,...,X
n iid.
Variables aléatoires "continues" : fonction de répartition
continue et dérivable par morceaux, densité, ex de graphe,
cas mixte discret-continu (discontinuité de la fonction de
répartition), ex. loi uniforme sur [a,b], discrétisation,
loi exponentielle ε(λ), loi gaussienne ou normale N(m,σ),
graphes, E(X), E(g(X)) exprimés avec la densité de X,
calcul dans le cas X~ε(λ)
11 (1dec) Interro 2
12 (8dec) Projection :
distribution
de la loi binomiale sur SageMathCloud, loi
binomiale, loi normale (ou gaussienne) sur Wikipedia.
Histogramme en statistique descriptive, histogramme
associé à une loi, approximation discrète d'une loi.
Quantiles et fonction de répartition, cas de la loi
normale : lien avec la notion d'intervalle de confiance