Small-amplitude, traveling, space periodic solutions – called Stokes waves – of the 2 dimensional gravity water waves equations in finite and deep water are linearly unstable with respect to longwave perturbations, as predicted by Benjamin and Feir in 1967. We completely describe the behavior of the four eigenvalues close to zero of the linearized equations at the Stokes wave, as the Floquet exponent is turned on. We prove in particular the conjecture that a pair of non-purely imaginary eigenvalues depicts a closed figure eight, parameterized by the Floquet exponent, in full agreement with numerical simulations. This is a joint work with M. Berti and P. Ventura.

The problem of existence and linear stability of invariant tori for the NLS equation on T^2 has been studied by various authors. Of course the next step is to go to nonlinear stability. I shall discuss this question on the simplified model of a non-resonant quasi-periodic in time NLS equation. Joint work with E.Haus, B. Langella, A. Maspero.

Cet exposé donnera quelques résultats anciens et nouveaux de contrôlabilité pour les systèmes de contrôle de dimension finie. Les questions de contrôlabilité consistent à décrire, l'ensemble des points de l'espace d'état que l'on peut attendre en temps prescrit ou arbitaire, à partir d'un point donné, en appliquant un contrôle autorisé.

La plupart des résultats connus sont fondés sur la dimension en chaque point de l'algèbre de Lie engendrée par les champs de vecteurs definissant le système. On connait depuis les années 80 des résultats donnant la commandabilité (globale) en ajoutant des hypothèses sur les propriétés du champ obtenu pour une valeur donnée du contrôle.On discutera en particulier de ce qui advient lorsque le champ sur lequel on fait ces hypothèse provient de valeurs du contrôle au bord de l'enveloppe convexe des valeurs autorisées (et non à l'intérieur).

Travail commun avec A. Herasimenka, J.-B. Caillau, L. Dell'Elce.

If one has a holomorphic map taking a piece of the unit sphere in Cn into itself, then it is linear fractional (as a classical theorem of Alexander shows). In particular, it is uniquely determined by its derivatives of order at most 2 (its “2-jet”) at any fixed point. While jet determination of biholomorphic maps, or more generally, CR diffeomorphisms, has been studied widely, only few results had been known for proper maps (where the dimension of the source space is strictly smaller than that of the target space). We discuss recent joint work with Nordine Mir which yields quite optimal results for CR maps into real-algebraic targets.

Ohsawa and Takegoshi gave a sufficient condition under which a holomorphic section of a vector bundle on the submanifold extends to the holomorphic section over the ambient manifold. Popovici and Demailly later extended this result to the setting of holomorphic jets. In this talk, we describe the refinement of those results in the semiclassical setting, i.e. when the section is taken from a sufficiently big tensor power of a positive line bundle. More precisely, we consider the optimal extension operator, sending a holomorphic jet along a submanifold to the holomorphic section on the ambient manifold minimising the \(L^2\)-norm. We provide an approximate formula for this operator and derive several consequences from it.

In this talk, I shall discuss the persistence of Lagrangian periodic tori for symplectic twist maps of the d-dimensional annulus and the rigidity of completely integrable maps. This is based on joint work with Marie-Claude Arnaud and Jessica Elisa Massetti.

We discuss the local conformal centralisers of holomorphic maps at parabolic and elliptic fixed points. We show general results about the group structure of the local centraliser at parabolic fixed points, and determine the precise group in a number of specific families of maps. We explain a rigidity phenomenon, which ensures that the elements of the local centraliser are global symmetries of particular form.

La mesure de Mahler d'un polynôme à coefficients entiers est sa moyenne géométrique sur le cercle unité, et le célèbre problème de Lehmer consiste à déterminer si ces mesures de Mahler admettent un point d'accumulation autour de 1.



En 2019, Lück a généralisé ce problème de Lehmer aux déterminants de Fuglede-Kadison associés à un groupe quelconque, qui peuvent être vus comme des variantes non commutatives des mesures de Mahler des polynômes. Les constantes de Lehmer d'un groupe mesurent alors l'écart possible autour de 1 des déterminants de Fuglede-Kadison associés à ce groupe.



Les déterminants de Fuglede-Kadison sont évalués sur des opérateurs équivariants de dimension infinie sur la complétion d'une algèbre de groupe, et sont difficiles à calculer en général. Dans cet exposé, je présenterai de nouvelles valeurs de déterminants de Fuglede-Kadison pour les groupes libres, obtenues par comptage de chemins sur des graphes de Cayley de groupes. En corollaire, je présenterai une nouvelle borne sur les constantes de Lehmer pour une grande classe de groupes, ce qui répond partiellement à la question de Lück.



Si le temps le permet, je présenterai des bornes encore plus fines sur les constantes de Lehmer pour certains groupes fondamentaux de 3-variétés hyperboliques, obtenues via les connections entre déterminants de Fuglede-Kadison d'opérateurs laplaciens, torsions L2 et volumes hyperboliques.

For a planar domain D, the reduced Bergman kernel of D can be thought of as the reproducing kernel of a closed subspace R(D) of the classical Bergman space A^2(D) of D. This subspace R(D) is the collection of L^2 integrable holomorphic functions on D which admits a primitive on D. The reduced Bergman kernel was first introduced by S. Bergman himself along with M. Schiffer. Later on, M. Sakai and J. Burbea worked on the higher order weighted versions of this kernel. In this talk, we will revisit these higher order reduced Bergman kernels and prove some important properties like transformation formula, Ramadanov-type theorems, and localization results for these kernels, which are already known for the classical Bergman kernel. We will also make some observations about their boundary behaviour. This is a joint work with Dr. Amar Deep Sarkar and Aakanksha Jain.

Cet exposé est en lien avec celui de Jean-Baptiste Pomet du mardi 25 octobre, qui avait introduit la condition nécessaire de contrôlabilité pour les systèmes avec une contrainte conique sur l’ensemble des contrôles. Ces résultats proviennent de l’étude de la contrôlabilité des voiles solaires autour des orbites périodiques. Les voiles solaires sont des satellites utilisant la lumière comme propulsion, ce qui résulte en un ensemble de contrôles délimité par un cone convexe. Ainsi, après avoir rappelé la condition nécessaire de contrôlabilité donnée au séminaire précédent, je vais proposer une méthodologie basée sur l’optimisation convexe et sur la théorie des polynômes positifs afin de vérifier cette condition. Le résultat s’interprète comme une condition minimal sur les propriétés optiques de la voile solaire pour qu’elle soit capable de générer un changement arbitraire de son orbite. Je vais également généraliser cette approche à d’autre type de satellites, au-delà d’un simple problème de Kepler.

In 1954 Kolmogorov laid the foundation for the so-called KAM theory. This theory shows the persistence of quasiperiodic solutions in nearly integrable Hamiltonian systems. It is motivated by classical problems in celestial mechanics, such as the n-body problem.



In this talk, we are interested in perturbations which depend on time non-quasiperiodically. More specifically, we consider time-dependent perturbations of Hamiltonians having an invariant torus supporting quasiperiodic solutions. Assuming the perturbation decays polynomially fast as time tends to infinity, we prove the existence of orbits converging, as time tends to infinity, to the quasiperiodic motions of the unperturbed system.



We will apply these results to the example of a planetary system perturbed by a given comet coming from and going back to infinity asymptotically along a hyperbolic Keplerian orbit.

Le flot géodésique pour la métrique de Teichmüller sur l’espace de modules des courbes induit une action du groupe SL(2,R) sur l’espace de modules des surfaces de translation. Je discuterai de la dynamique du flot horocylique correspondant à l’action du sous-groupe des matrices triangulaires supérieures avec valeur propre 1. Par analogie avec la théorie de Ratner sur la dynamique des flots unipotents dans les espaces homogènes, il est naturel de se demander si les adhérences d’orbites et les mesures invariantes correspondant à cette action admettent une classification. Je présenterai des résultats positifs allant dans cette direction et j’expliquerai en particulier comment certains arguments de dynamique homogène dus à Ratner, Dani et Margulis peuvent être adaptés à ce cadre géométrique. Il s’agit de résultats en collaboration avec J. Chaika et B. Weiss. 

Ces dernières décennies les méthodes de formes normales de Birkhoff ont connu d'importants succès pour montrer la stabilité en temps longs des petites solutions d'équations dispersives non-linéaires sur des domaines bornés. Cependant, hormis dans le cas des équations intégrables, ces résultats ne concernent que des solutions très régulières. Cette hypothèse de régularité semble primordiale d'un point de vue technique (afin de compenser les pertes dues aux petits diviseurs) mais, étonnement, les simulations numériques suggèrent fortement que la stabilité des petites solutions ne devrait pas dépendre de leur régularité. Je vous présenterai quelques résultats récents, obtenus en collaborations avec Benoît Grébert, Gabriel Rivière et Tristan Robert et allant dans le sens de ces observations numériques

We will first review the notion of polynomial entropy with some applications to Hamiltonian dynamics and Riemannian geometry. We will then examine two "sources" for the polynomial entropy, namely the notion of one-way horseshoe introduced by S. Roth, Z. Roth and L. Snoha (which can be seen as a counterpart of the usual Smale horseshoes for the topological entropy), and the torsion function for fibered systems (introduced in a joint work with Flavien Grycan), which provides a new conjugacy invariant. Finally, time-permitting, we will discuss some new applications of the torsion to dynamical versions of the Birkhoff conjecture for billiards.

The KPZ (Kardar-Parisi-Zhang) phenomenon was very actively studied in the last 20 years. We shall discuss a geometrical approach to KPZ which is related to studying asymptotic behavior of iterates of random one-dimensional monotone maps.

Billiards are well-known models first introduced by Birkhoff as paradigmatic examples of Hamiltonian systems, and pioneered by Yakov Sinai, Leonid Bunimovich, Nikolai Chernov, etc., as a mathematical model for the Lorenz systems and hard-ball gases. Since then billiards have acquired increasing importance as they shed light in understanding thermodynamic limits, connected to deep issues in quantum and wave physics all the way to quantum chaos. However for some convex billiards, whose boundary consists of only arcs and possibly some straight lines, even the hyperbolicity is not known, not to mention ergodicity and other chaotic properties. In this talk, I will discuss these new classes of convex billiards and their properties. The hyperbolicity for some of them is only numerically proved, which leaves many open questions to explore. I will also review my recent collaboration work with Michal Misiurewicz about topological entropy for these billiard systems.

Retrouve-t-on les propriétés dynamiques d'un système explicite en itérant bêtement ce système à l'aide d'un ordinateur ? Autrement dit, les erreurs d'arrondi faites par l'ordinateur affectent-t-elles les propriétés asymptotiques ?



Dans cet exposé, j'aborderai cette question pour une classe très simple de dynamiques hyperboliques : les applications dilatantes sur le cercle. Je présenterai un travail en collaboration avec M. Monge où nous étudions l'action des discrétisations spatiales sur les mesures à la fois des points de vue théorique (comportement à court terme pour un système générique, preuves basées sur des propriétés d'équirépartition dans des tores) et numérique (simulations).

We propose a novel viscosity notion to study first order Hamilton-Jacobi equations in a certain class of metric spaces called proper CAT(0) spaces.



A metric space (X, d) is said to be a CAT(0) space if, roughly speaking, it is a geodesic space and of non-positive curvature in the sense of triangle comparison theorem. They can be seen as a generalization of Hilbert spaces or Hadamard manifolds. Typical examples of CAT(0) spaces include Hilbert spaces, metric trees and networks obtained by gluing a finite number of half-spaces along their common boundary. Although CAT(0) spaces are not manifolds in general, they carry a solid first order differential

calculus resembling that of a Hilbert space. For example, a notion of tangent cone is well defined at each point of X. The tangent cone is the metric counterpart of the tangent space in Riemannian geometry or the Bouligand tangent cone in convex analysis. Furthermore, a notion of differential is well defined for any real-valued function u : X → R that is Lipschitz and can be represented as a difference of two semiconvex functions (Lipschitz and DC functions in short).



We propose to exploit all this additional structure that CAT(0) spaces enjoy to study stationary and time dependent first order Hamilton-Jacobi equation in them. In particular, we want to recover the main features of viscosity theory: the comparison principle and Perron’s method. In this talk, we give the main hypotheses we require for the Hamiltonian in this setting.

Furthermore, we define the notion of viscosity solutions, using test functions that are Lipschitz and DC. Moreover, we show that we obtain the comparison principle using the variable doubling

technique. Finally, we derive existence of the solution from the comparison principle using Perron’s method in a similar manner as in the classical case of X = RN. In the end, we will briefly explain how this novel notion of viscosity could be adopted in other classes of geodesic spaces such as Wasserstein spaces over the Euclidean space or over compact Riemannian manifolds, which can be regarded as geodesics space with non-negative curvature in the sense of the triangle comparison theorem.