La compréhension de l'adaptation et de l'évolution des populations est un grand défi, en particulier pour les micro-organismes puisqu'elle joue un rôle important dans l'évolution de la virulence ou dans les résistances bactériennes aux antibiotiques. Nous proposons un modèle stochastique général de dynamique de population avec reproduction clonale et mutations. De plus, les individus sont en compétition pour les ressources et échangent des gènes. Nous étudions différentes asymptotiques de ce processus général de naissance et de mort en fonction des échelles de temps démographique, écologique et de transfert respectives et de la taille de la population, faisant apparaitre différents modèles et questions mathématiques. Nous montrons que le transfert horizontal de gènes peut avoir un impact majeur sur la distribution des fixations mutationnelles successives, conduisant à des comportements radicalement différents, allant des scénarios d'évolution attendus au suicide évolutif. Des simulations sont données pour illustrer ces phénomènes. Nous finirons en expliquant sur quelles nouvelles questions mathématiques nous nous penchons, motivés par la compréhension de ces comportements.

La propriété de turnpike a été découverte dans les années 50 par le prix Nobel Samuelson en économétrie. Elle stipule que la trajectoire optimale d'un problème de contrôle optimal en temps long reste essentiellement proche d'un état stationnaire, lui-même solution d'un problème de contrôle optimal statique associé.
J'exposerai mes travaux effectués avec Gontran LANCE, Can ZHANG et Enrique ZUAZUA, démontrant la propriété de turnpike exponentiel dans un cadre général en contrôle optimal non linéaire. J'expliquerai en quoi cette propriété universelle est due à un phénomène d'hyperbolicité très simple. Je montrerai des conséquences en termes de calcul numérique des trajectoires optimales.
Je montrerai aussi la propriété de "shape turnpike" dans les cas où le contrôle est une forme agissant sur un système d'équations aux dérivées partielles.
Cet exposé sera accessible à un large public.