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Différentes approches

À ce jour, il existe un grand nombre de méthodes dites d'assimilation de données, qui consistent toutes plus ou moins à fournir une estimation de la condition initiale du système, connaissant des estimations de ce même système à d'autres instants : elles consistent toutes à résoudre un problème dit problème inverse. Il existe actuellement deux grandes classes de méthodes d'assimilation de données, l'une reposant sur des approches statistiques, l'assimilation séquentielle de données, et l'autre reposant sur la théorie du contrôle optimal [29], l'assimilation variationnelle de données. Dans un cadre purement linéaire, les techniques séquentielles et variationnelles sont très souvent équivalentes, mais leur extension à des problèmes non linéaires les différencie alors. Nous allons détailler dans ce chapitre plusieurs techniques séquentielles et variationnelles avant de nous limiter essentiellement dans les chapitres suivants à des techniques variationnelles.

Par la suite, nous allons considérer un système physique dont l'évolution est régie par un jeu d'équations différentielles qui peut s'écrire sous la forme :

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{dx}{dt}=F(x), [0.3cm] x(0) = x_0, \end{array} \right.$ (2.1)

où $ x$ , ne dépendant a priori que du temps, est le vecteur d'état. Nous noterons $ n$ sa dimension. $ x_0\in\mathbb{R}^n$ est la condition initiale de ce système différentiel. Dans la suite, nous noterons $ y(t)$ les observations du système disponibles à l'instant $ t$ , et $ p$ la dimension du vecteur d'observations. À titre indicatif, pour un modèle (océanique ou météorologique) réaliste, $ n$ est de l'ordre de $ 10^7$ et $ p$ de l'ordre de $ 10^5\ - 10^6$ . Soit $ H$ l'opérateur d'observation, a priori non linéaire et dépendant du temps, qui permet de relier le vecteur d'état $ x$ et les observations $ y$ . À partir d'un état du système $ x\in\mathbb{R}^n$ , il permet de générer un vecteur $ Hx \in \mathbb{R}^p$ pouvant être assimilé (et donc comparé) à une observation.


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