1. (13sept) Présentation du cours. Rappel du cours de 1ère année :
Fonctions R→R donnée explicitement par une expression algébrique faisant intervenir des fonctions usuelles (comme cos, exp, ln), implicitement par une équation (ex. fonction réciproque), fonction définie par morceaux ; composition des fonctions (ex cos(x²)).
Limite finie en x₀ : définition formelle (du style f(]x₀-δ,x₀+δ[)⊂]l-ε,l+ε[ ), interprétation avec le graphe de f, limite à droite ou à gauche, continuité d'une fonction sur un intervalle (la limite en x₀ est f(x₀)), vitesse de convergence par comparaison avec (x-x₀)ⁿ,  (x-x₀)ⁿ est infiniment petit devant (x-x₀)ⁿ⁺¹ au voisinage de x₀, notation ε(x)×(x-x₀)ⁿ=o_x→x0((x-x₀)ⁿ), ex sin(x) en 0 : sin(x)=0+o_x→x0(1), mieux : sin(x)=x+o_x→x0(x), en π/2 (cf développement de Taylor), interprétation graphique (approximation du graphe en x₀), application à la limite d'une forme indéterminée 0/0, ex lim en π/2 de (sin(x)-1) / ln²(1+x-π/2).
Dérivée en x₀ : limite du taux d'accroissement ou de façon équivalente développement à l'ordre 1 en x₀. Primitive, intégrale sur un segment d'une fonction continue, lien entre les deux (primitive d'une fonction continue donnée par une intégrale, calcul de l'intégrale connaissant une primitive).

Lecture : Les feuilles de TD et sujets d'examen en L1PC analyse, notice Wikipedia sur les fonctions, sur la notation de Landau o_x→x0(f(x)),  calculs de dérivées, de développement de Taylor, de primitives avec  wolframalpha : essayer int 1/sqrt(x^2-a) dx puis int sin(sqrt(1+x)) dx, int sin(1+x^3) dx, int sin(sin(x)) dx, int sqrt(1+x^3) dx, int sin(x)/log(x) dx
Quelques développements limités usuels en 0.

2. (20sept) Limite ∞ d'une fonction f(x) quand x→x₀, limite quand x→∞ avec la notion de voisinage de +∞ (un intervalle de la forme ]a,+∞[) et de -∞ (]-∞,a[). Vitesse de convergence vers ∞ par comparaison avec les fonctions 1/(x-x₀)^α en x₀ ou avec les fonctions x^α en +∞ ; vitesse de convergence vers l quand x→+∞ par comparaison de f(x)-l avec 1/x^α au voisinage de +∞. Comparaison (ex ln(x)=o_x→0+(1/xⁿ) quel que soit l'entier n>0), équivalent (ex (2+x-x³)/x²=2/x²+o_x→0(1/x²) , on écrit (2+x-x3)/x²∼_x→0 2/x² ), développement asymptotique (ex (2+x-x³)/x²=x+1/x+o_x→+∞(1/x) dans l'échelle (1/x^α) au voisinage de +∞).
Théorème de Rolle pour une fonction dérivable sur un segment [a,b], application au tableau de variation, à l'unicité des primitives à une constante près.
Intégrale comme limite d'une somme de Riemann ; notation ∫f(x)dx ou ∫^xf(t)dt pour la primitive de f à une constante près. Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle ]a,b] (avec éventuellement a=-∞) ou sur un intervalle [a,b[ (avec éventuellement b=+∞) comme limite de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. ex. ∫₀¹ dt/t², ∫₁^∞ dt/t².

3. (27sept) Intégrale impropre d'une fonction continue sur ]a,b[, relation de Chasles pour se ramener à l'étude de la convergence en a et en b.
Critères de convergence : 1. intégrales impropres des fonctions simples dont on connaît une primitive : 1/(x-a)^α sur ]a,a+1] et sur [a+1,+∞[ (au passage : domaine de définition de (x-a)^α), 1/(x|ln(x)|^α) sur ]0,1[ et ]1,+∞[. 2. Théorèmes de comparaison : si 0≤f≤g sur ]a,b[ et ∫_a^bg converge alors ∫_a^bf converge (car ∫_x^yf est une fonction croissante en y et décroissante en x) ; Si ∫_a^b|f| (l'intégrale de la valeur absolue) converge alors ∫_a^bf converge (on dit que ∫_a^bf est absolument convergente) ; ex ∫₁^+∞sin(t)/t² dt est absolument convergente, ∫₁^+∞sin(t)/t dt est semi convergente (intégration par partie) mais pas absolument convergente (voir plus tard).


4. (4oct) Notation O_x0(f) "grand O en x₀ de f" ou O_x→x0(f(x)) avec x₀ nbre réel ou +∞ ou -∞ : O_x0(1) désigne une fonction R→R (on ne précise pas laquelle) bornée au voisinage de x₀ ; O_x0(f) désigne f×O_x0(1), i.e. le produit de f avec une fonction bornée au voisinage de x₀. Prop: si f admet une limite finie en x₀ alors f=O_x0(1) (on dit "f est un grand O en x₀ de 1"). Exemples de O(1): sin(x) au voisinage de +∞, 1/√x au voisinage de 1. f(x)=1/(√x + x + x√x) est un O(1/√x) au vois. de 0 (c'est aussi un O(1/x√x) en 0 mais c'est moins bien), est un O(1/x√x) en +∞ (c'est aussi un O(1/√x) en +∞ mais c'est moins bien).
Application : f,g continues [a,b[→R, g≥0, on suppose f=O_b(g) et ∫_a^bg converge alors ∫_a^bf est absolument convergente. Contraposée : si ∫_a^bf diverge alors ∫_a^bg diverge. Exemple : ∫₀^+∞dx/(√x + x + x√x) est convergente en 0 et en +∞. Attention à l'hypothèse g≥0 : f(x)=sin(x)/√x +|sin(x)|/x, g(x)=sin(x)/√x, on a f=O_+∞(g), ∫₁^+∞f est convergente mais ∫₁^+∞g est divergente.
Prop : f,g continues [a,b[→R, g≥0, f=o_b(g) (petit o), si ∫_a^bg=+∞ alors ∫_a^xf= o_x→b(∫_a^xg) ; si ∫_a^bg < +∞ alors ∫_x^bf= o_x→b(∫_x^bg)

5. (11oct) Equivalent dans les intégrales impropres, règle de Riemann pour la convergence des intégrales.
Equations différentielles (ordinaires). exemple : dynamique des populations. Déf. équation scalaire d'ordre n sous forme explicite (dite "résolue") ou implicite, système d'équations scalaires, solution d'une eq. diff. ; un exemple de résolution y'+xy=e^x.

6. (18oct) Recherche des solutions d'une eq. diff. scalaire d'ordre un à variables séparées, ex. y'=y², y'=y^2/3, solutions avec conditions initiales ; conditions d'existence et d'unicité d'une solution avec condition initiale d'une eq. diff. scalaire d'ordre n (théorème de Cauchy-Lipschitz).
Eq. diff. linéaire d'ordre 1 : solutions de l'équation homogène, résolution de l'eq. avec second membre par la méthode de variation de la constante.

7. (25 oct) Vecteur colonne de fonctions Y(x), matrice n×n de fonctions A(x), dérivée Y'(x), produit A(x)Y(x) ; Système d'équations diff. linéaires scalaires couplées versus équation diff. linéaire vectorielle (avec second membre) Y'+A(x)Y=B(x), eq. vectorielle associée à une équation scalaire d'ordre n, exemple d'eq. vectorielle associée à un système de deux eq. scalaires d'ordre 2 (système masse-ressort), théorème de Cauchy-Lipschitz pour les eq. diff. linéaires vectorielles avec condition initiale Y(x₀)=Y₀, interprétation de la condition initiale dans le cas d'une équation scalaire d'ordre n.
Méthodes de résolution d'une eq. diff. linéaire scalaire d'ordre n : "variation de la constante" lorsqu'on connaît une solution y₀ de l'éq. homogène pour se ramener à une eq. scalaire d'ordre n-1 en z' (avec y(x)=z(x)×y₀(x)) ; recherche d'une solution de la forme e^αx pour une eq. scalaire d'ordre n à coefficients constants, polynôme caractéristique, exemple de résolution avec l'équation y''-2y'+y=sin(x).

(8 nov) Partiel

8. (15nov) Video-projecteur : réponses aux questions du partiel et de la feuille 5 avec WolframAlpha.
Introductions aux suites et séries : nombre réel (via son développement décimal ou autre), intégrale d'une fonction continue, primitive, solution d'une équation différentielle obtenus comme limite d'une suite de nombres ou de fonctions déjà connus. Suite numérique = fonction N→R ou C ; notation (u_n), ∑u_n pour la suite des sommes partielles. Suite définie par une fonction (ex 1/n), une récurrence (ex u₀=1,u_n+1=sin(u_n), expression du terme général pour une suite arithmétique, géométrique et pour la suite de leurs sommes partielles), une récurrence multiple (ex u₀=u₁=1, u_n+2=u_n+1+u_n), une série (ex ∑1/n²).

9. (22nov, C. Berger) Limite d'une suite ou série numérique, critère d'existence : critère de Cauchy (en particulier pour les suites récurrentes u_n+1=f(u_n) ), suites croissantes majorées (en particulier séries à termes positifs), encadrement par deux suites adjacentes (en particulier séries alternées).

10. (29nov) Rappels sur la notion de convergence d'une suite et les critères de convergence ; exemples.
Convergence de ∑u_n par comparaison u_n=O(v_n) avec v_n≥0 et ∑v_n converge, majoration du reste, exemple 1/n²≤1/(n-1)-1/n donc ∑_k≥n+1u_k≤1/n par ex 1/1+1/2²+...+1/10² est une estimation de la somme des 1/n² à 10^-1 près.
Comparaison série-intégrale : ∑f(n) comparé à ∫_a^+∞f(t)dt pour f fonction décroissante positive.

11. (6dec) Critère de Riemann pour les séries ; relation de comparaison pour les séries dont le terme général est de signe constant (grand O, petit o, équivalent), équivalent pour la somme lorsqu'elle diverge, pour le reste lorsque la somme converge, exemples 1/n ∼ ln(n+1)-ln(n) et ∑_k≤n1/k ∼ ln(n), etc. ; estimation de la somme (si elle diverge) ou du reste dans les comparaisons séries-intégrales ex ∑_k≥n1/k² ∈ [∫_n+1^+∞dx/x² , ∫_n^+∞dx/x²] ∼1/n , ∑_3≤k≤n1/(k.ln(k)) ∈ [∫₃ⁿ⁺¹dx/(x.ln(x)) , ∫₂ⁿdx/(x.ln(x))] ∼ ln(ln(n)) ; convergence des séries alternées, encadrement du reste, ex. ∑_k≥n(-1)^k/k ∈ [(-1)ⁿ/n , (-1)ⁿ⁺¹/n²] ; développement asymptotique du terme général et somme de séries convergentes ex. ∑ln(1+(-1)ⁿ/n)

12. (13dec) Suites récurrentes linéaires. Récurrence simple : u₀ donné et la règle u_n+1=f(u_n), (u_n) peut être une suite de nombres réels, une suite de fonctions R→R (exemple solution approchée d'une équation différentielle y'=f(x,y)), etc.). Suite récurrente linéaire d'ordre 1 : u_n+1=a.u_n où a est un réel fixé ; expression de u_n en fonction de n. Suite récurrente d'ordre 2 : u_n+2=f(u_n+1,u_n), u₀ et u₁ donnés, linéaire si f(x,y)=ax+by ; ex. suite de Fibonacci u₀=0, u₁=1, u_n+2=u_n+1+u_n ; lien avec l'équation différentielle (linéaire scalaire à coefficients constants) y"=y'+y avec conditions initiales y(0)=0, y'(0)=1 : u_n=y⁽ⁿ⁾(0) ; résolution de l'eq. diff. par la recherche d'une solution y(x)=e^αx puis la "variation de la constante", constantes déterminées par les conditions initiales, expression de u_n. Autre méthode pour l'expression de u_n : recherche d'une suite solution u_n=αⁿ puis recherche des autres solutions sous la forme u_n=αⁿv_n, cela conduit à une relation de récurrence d'ordre 1 sur la suite (v_n+1-v_n)_n.
 
Lecture : La suite de Fibonacci sur Wikipedia

(20 dec) 2ème partiel

En suspens : Sommes de Riemann pour une intégrale propre. Convergence uniforme, limite, continuité dérivabilité pour une suite ou une série de fonctions.